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科学Fans|这4个著名数学问题,你会几个?

关键词:   发布时间:2019-07-27 07:00:01

       

还记得2019年1-2期合刊中“数学之美”的部分,猫哥考大家的四个著名数学问题吗?嗯哼,并没有想明白?来看看解答吧!

Q
&
A

01

Q:小城里的理发师放出豪言:他只为,而且一定要为,城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子。那么问题来了:理发师该为自己刮胡子吗?

如果他为自己刮胡子,那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”,他不应该为自己刮胡子;但如果他不为自己刮胡子,同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他又应该为自己刮胡子。

聪明的同学们,你能解决这其中的矛盾吗?

(图片来源:昵图网)

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A:这个问题是罗素悖论的通俗例子。同学们可以发现,要解决这个问题是很困难的:如果理发师给自己理发,则违背了自己的约定;如果理发师不给自己理发,那么按照他的规定,又应该给自己理发。这样,理发师就陷入了自相矛盾的境地。

     就这样一个小小的理发师悖论,却让人们开始怀疑:“是不是整个数学都出现了问题?”这是当时数学家普遍的担心。罗素悖论也因为动摇了经典集合论的根基,甚至引发了第三次数学危机。

     后来人们发现,悖论并不是无法解决的,想要解决悖论问题其实很简单,那就是就悖论发生之处重新制定一些规则,比如,集合论是数学重要的根基,所以为了避免罗素悖论的出现,数学家们严格定义了集合论中不能出现这样的集合,也就是说在现代的数学理论中是不允许这样矛盾的“理发师”出现的。


02

Q:古希腊哲学家芝诺是一个非常有意思的人,他提出了一系列看起来非常荒谬,但分析过程看起来有十分合理的结论,其中最有名的两个是:

(1)阿基里斯(Achilles)是希腊神话中的勇士,体力过人,善于奔跑。如果阿基里斯与乌龟赛跑,只要让乌龟先爬一段路,阿基里斯就不可能追上。理由是:每当阿基里斯追到乌龟先前所在的位置时,乌龟总是又往前爬了一段……这个过程无法穷尽,故而阿基里斯不可能追上乌龟。

(2)一支飞行的箭是静止的。由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的,因此箭就不能处于运动状态。

很明显这些结论都是错误的,但是你能指出推理过程又有什么错误吗?

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A:这两个问题都是芝诺悖论,深刻地讨论了极限的定义。第一个说法中,把乌龟领先的路程看做c,阿基里斯每次跑的距离看做ai, 乌龟每次爬的距离为bi(0<bi<ai<c),最后跑的路程就等于a1+a2+a3+…。虽然这个式子有无穷多项,但这个求和的结果在i达到某个值的时候一定会得到和大于c+b1+b2+…。这其中推理的错误是将一个无穷级数的项数的“无穷”等价成了这个无穷级数的结果无穷。

     第二个飞矢悖论亚里士多德曾经反驳过:谈论物体的运动或静止,需要依据其在某个时刻的位置与前一时刻的位置的比较而定,像芝诺这样只考虑一个时刻,是无法谈论物体的运动或静止的。亚里士多德对速度的看法跟速度的现代定义相当接近。


03

Q:警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯,但没有足够证据指控二人有罪。于是警方分开囚禁嫌疑犯禁止他们串供,分别和二人见面,并向双方提供以下相同的选择:

若一人认罪并作证揭发对方(“背叛”对方),而对方保持沉默,此人将即时获释,沉默者将判监10年。

若二人都保持沉默(互相“合作”),则二人同样判监半年。

若二人都互相检举(互相“背叛”),则二人同样判监5年。

用表格概述如下:

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A:这是博弈论中经典的“囚徒困境“问题。两个囚徒因为害怕对方背叛自己导致自己坐十年监狱,都会选择出卖对方,最后结果是两个人都被判5年。两个囚徒想要达到都只被判半年的最有利结果,就必须互通信息保持合作。


04

Q:一所美国大学的法学院和商学院。新学期招生数据如下:

根据上面两个表格来看,女生在两个学院都被优先录取,即女生的录取比率较。现在将两学院的数据汇总:

在总评中,女生的录取比率反而比男生。请问有这样反常的结果应该如何解释呢?

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A:这是统计学中著名的辛普森悖论。虽然数学计算的结果很显然,但非常违反我们的直觉:两个单独更大的东西加起来居然变小了。这个悖论就是告诉我们:统计结果不能凭直觉简单相加,不同的统计数据在最终结果所占的权重是不一样的。这个例子中虽然两个学院都是女生的录取率更高,但在招生人数更多的商学院,男生被录取的数量显著多于女生,录取率也没有显著低于女生,这影响了两个学院一起统计的最终结果。



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